原题
原题：如图，已知在矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE。若M为线段A1C的中点，则△ADE在翻折过程中，下列说法正确的是？
A.线段BM的长为定值
B.存在某个位置，使DE⊥A1C
C.点M的运动轨迹是一个圆
D.存在某个位置，使MB⊥平面A1DE
图一这道题是属于动态立体几何，即随着△ADE在翻折过程中下列线段之间存在着哪些关系。
那像这样的动态立体几何该如何判断动直线和定直线以及动直线和定平面之间的关系呢？
这就需要将动态转化成固定的模式，或者是由固定模式推出矛盾。
下面就讲解题的过程中展现具体的方法。
选项A、C
这里之所以将选项A和选项C放在一起，是因为选项A和C问的是一个意思。
因为如果线段BM的长为定值，且M点随着A1C的变动而变动，而B点不动，所以线段BM是以B点为定点，以M为动点的情况，恰好符合圆的定义，所以M的轨迹就是一个圆。
那BM到底是不是一个定值呢？
要想判断动线段BM是否为定值时，就要将该动线段BM转化到定平面当中，借助定平面中的定线段来表示动线段。
这里怎么将动线段转化成定平面呢？
因为在立体几何中，三角形就可以代替一个平面，所以只需将该线段BM放入到一个三角形当中即可。
图二证明BM是定值：
第一步，将动线段放入一个平面内。
因为M点是A1C的中点，所以取DC的中点F，连接MF和BF，则将BM就放入了三角形BMF中。
第二步，证明△BMF中的MF线段是定值。
因为M和F分别是A1C和DC的中点，所以MF=A1D/2，这里A1D是定线段，是不随着平面A1DE的变化而变化的，所以线段MF也是一个定值。
第三步，证明△BMF中线段BF是定值。
因为ABCD是矩形，所以AB=CD，AB∥CD，所以BE∥DF，又因为E点和F点分别为AB和CD的两个中点，所以BE=DF，所以四边形DFBE是平行四边形，所以DE=BF，DE∥BF。
因为DE也是定线段，所以BF也是定线段。
第四步，证明∠MFB是定值。
因为AB=2AD，且E为AB的中点，所以AD=AE，又因为ABCD是矩形，所以∠DAE=90度，所以∠ADE=∠AED=45度，又因为A1DE是ADE的折起面，所以△A1DE≌△ADE，所以∠A1DE=45度。
由前两步证明得知，MF∥A1D，BF∥DE，所以∠A1DE=∠MFB，因为∠A1DE=45度为定值，所以∠MFB是定值。
第五步，证明线段BM是定值。
在三角形BFM中，根据余弦定理得到BM^2=MF^2+BF^2－2·MF·BF·cos∠MFB，因为MF、BF、∠MFB都是定值，所以BM的长度也是定值。
综上所述选项A和选项C是正确的。
选项B
选项B是判断在△A1DE折起的过程中，是否存在某一位置时，有DE⊥A1C。
在△A1DE折起的过程中，我们是不容易判断哪个过程中是否DE⊥A1C的，所以需要反向证明，即假设DE⊥A1C，推出与已矛盾，但是也要将直线A1C放入三角形中。
第一步，将线段A1C放入三角形中。
取DE的中点H，连接AH，因为A1D=A1E，所以AH⊥DE。
连接CH，则就将A1C放入在三角形A1HC中。
图三第二步，如果DE⊥A1C，得出矛盾。
因为DE⊥A1C，且A1H⊥DE，又因为A1H和A1C是面A1HC的两个相交线，所以DE⊥面A1HC，则DE⊥CH。
因为H为DE的中点，且CH⊥DE，所以三角形CDE应该是等腰三角形，即CD=CE，因为CD=AB=2EB=2BC，而CE=√2BC，所以CD≠CE，所以上述DE⊥A1C与CD≠CE矛盾，所以DE与A1C不能垂直。
所以选项B是错误的。
选项D
选项D是要判断随着△ADE折起的过程中，是否存在某一个时刻，使得MB⊥面A1DE.
这个选项仍然要反向证明，即如果证明MB平行平面A1DE，则MB就不可能与面A1DE垂直。
由证明选项A、C时已经证明MF∥A1D，BF∥DE，如图二，且A1D和DE是面A1DE内的相交直线，MF和BF是面MFB内的相交直线，所以面A1DE∥面MFB，所以MB∥面A1DE恒成立的。
所以线段MB是不可能与面A1DE垂直的，所以选项D是错误的。
综上所述，选项A和C是正确的。
总结
选项A求线段BM是定值，主要是将BM的长度用BM所在的三角形MFB中的其他定边和定角借助余弦定理来表示。
而选项B和D主要是通过反向证明来判断。
但是都是需要将动线段放入到一个三角形中去证明。
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