平面向量的：二级结论
如果能够耐得住寂寞看完，必定有所收获。千万不要只看，更要动手算。拿出自己的演草纸吧，自己动手，丰衣足食。
关于二级结论如何使用我就不再多做赘述了，一定要摆正心态，那就是：
欲用此定理，并证此定理！
欲用此定理，并证此定理！
欲用此定理，并证此定理！
敲黑板，说三遍~~~
如果自己能够完全证明出来，我觉得根本不用刻意去记，这些东西已经和你融为一体了~~学习数学大法的最高境界啊！
有关垂直的结论（数形结合）：
满足BD和CF垂直的时候，有下列的数量关系：
向量绝对值不等式：
求数量积的两个重要模型:
①如图，在中，
②如图，在中，D为BC上一点，
后续再利用条件进行化简。
PS：向量在方向上的投影：或者
极化恒等式三角形模型：
极化恒等式的作用主要在于：
它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”，因此，当两个向量的“和向量”或“差向量”为定向量时，常常可以考虑利用极化恒等式进行转化求解.
若向量不共线,且点P为线段AB的中点,则
公式变形：
向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的
极化恒等式平行四边形模型：
平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.
以此类推到三角形，若是的中线，则
举个栗子：在中,设点是AB边上一定点,满足,且对于AB边上任一点P,恒有,则矩形的两个小性质:
(1)已知矩形ABCD，O是平面任意一点，则
(2)已知矩形ABCD，O是平面任意一点，则
举个栗子：在平面上，,若，则的取值范围是().对角线向量定理：
（①）
需要说明的是，对角线向量定理①和后文所出现的式子②③既适用于平面向量也适用于空间向量。
当用于空间向量的适合，大家把这个图形想象成为三棱锥D-ABC即可，AC和BD成为三棱锥的一组对棱，如下图所示。
这就是对角线向量定理，它表明四边形的两条对角线对应向量的数量积可用四条边的长度表示。
推论1：
当时，有（②）.
式子②表明，当对角线相互垂直时，四边形两组对边的平方和相等。
推论2：
（③）
向量中三点共线的结论：
A、B、C三点共线(同时除以)
若P、A、B三点共线，则存在实数λ、μ使（λ＋μ＝1）.特别地,当P为线段AB的中点时,
举个栗子：
在中,.若点D满足,则=()向量等和线（“爪”字型图及性质）：
之前基础上的拓展
（1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在使得则三点共线
当，则D与A位于BC同侧，且D位于A与BC之间.
当，则D与A位于BC两侧.
当时，当则D在线段BC上.
当，则D在线段BC延长线上.
（2）已知D在线段BC上，且则
定比分点公式的向量表示与坐标表示：
若点P分向量所成的比为，则
设点P分向量AB所成的比为λ，则
向量与三角形四心：
在中，角所对的边分别是
（1）重心
是的重心
三角形三条中线交点。
三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等
三角形的重心坐标公式：设则的重心坐标为
若则直线过的重心．(由或作出高后知两分式的分母相等)
使取最小值时的点，为的重心.
（2）垂心
为的垂心
三角形三边上的高相交于一点。
若则直线过的垂心．(因为或作出高后把代入化简，可知共线)
（3）内心
为的内心
三角形内角角平分线的交点。
其余同理
若则平分线上的向量为由决定.
（4）外心
为的外心
垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。
组
组
组
（5）外心和垂心结合
O为其外心，H为其垂心，则
奔驰定理
推论：
若
则
(1)是的重心
(2)是的内心
(3)是的外心
(4)是的垂心
证明：如图为三角形的垂心，
同理得
梅涅劳斯（Menelaus）定理简介（作为平面几何内容对向量很有贡献）：
如果一直线顺次与三角形ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于M、N、K三点，则：
证明：过顶点B作AC的平行线与截线交于E，则有：
故：
三角形面积公式的向量表达
平面上三点不共线，设则
完美结束。
如果大家看完这篇文章，能有很大的收获，我就开心啦。希望大家喜欢，更多文章敬请期待。
本文来自知乎。知乎作者：雪地叹息瓶。
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