（原文：高中数学必修2”第15讲基础应用之“空间角度计算”）
1.基本问题说明
在立体几何中，经常会遇到要求解各种角度的情形，比如异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角。从纯几何（学了空间向量后还有另一种解法）角度去解决这些问题，一般都可以通过在一个平面上把其等价角度表示出来后再计算。空间角度计算也是立体几何常见的基本问题之一。考查时，它既可以作为一个单独问题出现在简单的选择题或填空题中，也可以与其它基本问题综合的方式出现在解答题或难度较大的选择题或填空题中——或者是待求解的最终问题、或者只是其中一个中间步骤的问题。
2.解决基本问题的一般方法
a)实用结论（用于解答题时，需要写上推导过程——本身并不难）
三余弦定理平面内的一条直线与该平面的一条斜线所成角的余弦值，等于斜线与平面所成角的余弦值乘以斜线在平面上的射影与该直线所成角的余弦值。
最小角原理平面斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
三垂线定理及其逆定理三垂线定理是立体几何的重要定理之一。平面内搭一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也就和这条斜线垂直。由于定理中涉及三条与平面内已知直线有垂直关系的直线（如图，PO⊥平面α，PA⊥a，AO⊥a），故称为三垂线定理。
三垂线定理通过平面斜线的射影与平面内一直线的垂直关系来判定斜线与平面内一条直线垂直。
显然，三垂线定理就是三余弦定理在β=90°的情况。直线垂直射影有cosβ=0，因此cosγ=0，即直线与斜线也垂直。
三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
b)一般方法
异面直线的所成角异面直线所处的角的范围是(0,π/2]，其求解一般方法是通过平移直线，把异面问题转化为共面问题来解决。其求解具体步骤（作-证-求）如下：①利用定义，在某平面内构造等价角——可以固定一条而平移另一条到其所在平面，也可两条同时平移到某平面，具体要根据解题的便捷性来选择；②论证该平面角等价于所求异面角；③解三角形求解。直线和平面所成角直线与平面所成角范围是[0,π/2],解题过程中可能会涉及到另一个基本问题“点到平面距离计算”。其求解具体步骤（作-证-求）如下：
①过斜线上一点作平面的垂线；②连接垂足和斜足，得到斜线在平面内的射影；根据定义可知，斜线与射影所在直线的夹角即为直线和平面所成角；③解三角形求解。二面角二面角的范围在课本中没有给出，一般是指(0，]，解题时要注意图形的位置和题目的要求。其平面角的作图一般方法有：①定义法：过两个平面交线上任意（实际解题时要根据便利性取点）一点,作两条分别位于这两个平面内的垂线，则这两条垂线所成角即为二面角的平面角。
②三垂线法：过两个平面交线上任意（实际解题时要根据便利性取选点）一点O,作一条位于其中一个平面内的垂线；再在垂线上任取一点A，作另一平面的垂线，垂足为B；连接BO，则AO和BO的夹角即为二面角的平面角。
③垂面法：自空间任意一点，作垂直两个平面的交线的一个平面，则平面与这两个平面的交线的夹角即为二面角的平面角。
确定一个点的影射位置的方法（分情况）：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角平分线上；③若一条直线与一个角的两边夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角平分线上；④两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影必在这两个平面的交线上；⑤若三棱锥的侧棱相等或侧棱与底面所成角相等，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的外心；⑥若三棱锥顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成角相等，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的内心（或旁心）；⑦若三棱锥的侧棱相互垂直或各组对棱相互垂直，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心。
3.典型示例
例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为___。
讲解：
求解异面直线夹角的一般思路：通过平移方法，在某个(可能是构造的)平面内找到异面直线夹角的等价角，然后再利用平面几何性质求解。
例2将正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A,B,C,D为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线AD与BC所成角为___。
解：设O是正方形对角线AC、BD的交点，将正方形ABCD沿对角线AC折起，
可得当BO⊥平面ADC时，点B到平面ACD的距离等于BO；
而当BO与平面ADC不垂直时，点B到平面ACD的距离为d，且d＜BO；
由此可得当三棱锥B-ACD体积最大时，BO⊥平面ADC。
讲解：
求解异面直线夹角的一般思路：通过平移方法，在某个(可能是构造的)平面内找到异面直线夹角的等价角，然后再利用平面几何性质求解。平移方法在具体实施时，移哪根直线或两根一起移，以及移到哪个位置来构造平面夹角，要根据已知条件、以及图形形态特征灵活把握——一般原则是尽量多借用已有图形元素，少构造新元素（少画辅助线）。本题的关键在于充分理解和利用图形对折之本质——紧扣变或不变的量，灵活运用对折前或后的特性。本题还原对折前部分——利用对折前的特性，使解题变得非常便捷。
